Công thức Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối u, x – Lý thuyết và bài tập

Tìm hiểu công thức đạo hàm trị tuyệt đối, x cùng ví dụ minh họa chi tiết. Hướng dẫn cách áp dụng công thức và lưu ý quan trọng khi tính đạo hàm trị tuyệt đối.

Cụm từ có nội dung liên quan:

• Công thức đạo hàm trị tuyệt đối
• Đạo hàm trị tuyệt đối của u
• Cách tính đạo hàm trị tuyệt đối
• Đạo hàm của hàm trị tuyệt đối
• Ví dụ về đạo hàm trị tuyệt đối

I. Giới thiệu chung

Đạo hàm là một công cụ quan trọng trong toán học, giúp phân tích sự thay đổi của hàm số theo biến số. Trong đó, trị tuyệt đối ∣x∣ và ∣u∣ thường xuất hiện trong nhiều bài toán thực tiễn.

Bài viết này sẽ cung cấp công thức tính đạo hàm trị tuyệt đối, giải thích ý nghĩa và hướng dẫn áp dụng thông qua các ví dụ minh họa. Đây là nội dung cần thiết cho học sinh, sinh viên và những ai quan tâm đến toán học ứng dụng.

II. Khái niệm cơ bản về trị tuyệt đối và đạo hàm

Trị tuyệt đối: Là giá trị không âm của một số, ký hiệu là ∣x∣. Nó được định nghĩa:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{khi } x \geq 0 \\ -x, & \text{khi } x < 0 \end{cases}$$

Trị tuyệt đối thường được sử dụng để đo khoảng cách hoặc loại bỏ dấu âm.

Đạo hàm: Là phép tính biểu thị tốc độ thay đổi của một hàm số theo biến số. Đạo hàm được tính dựa trên các quy tắc như: tổng, tích, thương và chuỗi.

III. Công thức đạo hàm trị tuyệt đối

1. Đạo hàm trị tuyệt đối x – $|x|$

Công thức tổng quát:

$$\frac{d}{dx}|x| = \begin{cases} 1, & \text{nếu } x > 0 \\ -1, & \text{nếu } x < 0 \\ \text{Không xác định}, & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$$

​Trường hợp $x=0$, đạo hàm không xác định vì đồ thị hàm $|x|$ có góc nhọn tại điểm này.

2. Đạo hàm trị tuyệt đối u – ∣u∣

Nếu u = f(x), công thức tính là:

$$\frac{d}{dx}|u| = \frac{u}{|u|} \cdot u’, \; \text{khi } u \neq 0$$

Trong đó, u′ là đạo hàm của u.

3. Ví dụ đạo hàm trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của $f(x)=|x-2|$.

Khi x > 2: f(x) = x−2, đạo hàm là f′(x) = 1.

Khi x < 2: $f(x)=-(x-2)=-x+2$, đạo hàm là f′(x) = −1.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của f(x)=∣x²−4∣.

Với u=x²−4, áp dụng công thức

$\frac{d}{dx}|u| = \frac{u}{|u|} \cdot u’$ $$f'(x) = \frac{x^2 – 4}{|x^2 – 4|} \cdot 2x$$

4. Một số lưu ý khi tính đạo hàm trị tuyệt đối

• Xác định các điểm đặc biệt: $x=0$ hoặc $u=0$, vì tại đây đạo hàm không xác định.
• Phân tích hàm trị tuyệt đối theo từng đoạn giá trị để tránh nhầm lẫn khi áp dụng công thức.
• Khi tính toán với hàm phức tạp, luôn kiểm tra kỹ đồ thị hoặc sử dụng máy tính để kiểm tra lại kết quả.

Xem thêm:

• Đạo hàm ln u, ln bình x, lnx chia x

IV. Bài tập đạo hàm trị tuyệt đối cơ bản

Bài 1: Tính đạo hàm của $f(x)=|x|$

Đáp án:

$$f'(x) = \begin{cases} 1, & \text{khi } x > 0 \\ -1, & \text{khi } x < 0 \\ \text{Không xác định}, & \text{khi } x = 0 \end{cases}$$

Bài 2: Tính đạo hàm của f(x)=∣x−2∣.

Lời giải:

Xét hai trường hợp:

Khi x>2: $f(x)=x-2$, nên f′(x)=1.

Khi $x<2$: $f(x)=-(x-2)=-x+2$, nên f′(x)=−1.

Khi $x=2$: Đạo hàm không xác định.

Bài 3: Tính đạo hàm của f(x)=∣x²$-4|$

Lời giải:

Xét $u=x$²$-4$, áp dụng công thức

$\frac{d}{dx}|u| = \frac{u}{|u|} \cdot u’$ $$f'(x) = \frac{x^2 – 4}{|x^2 – 4|} \cdot 2x$$

Khi $x$²$>4$:

$\frac{x^2 – 4}{|x^2 – 4|} = 1$

, nên f′(x)=2x.

Khi $x$²$<4$:

$\frac{x^2 – 4}{|x^2 – 4|} = -1$

, nên f′(x)=−2x.

Khi $x$²$=4$ (tại $x=2$ hoặc $x=-2$): Đạo hàm không xác định.

Bài 4: Tính đạo hàm trị tuyệt đối x^3

Để tính đạo hàm của f(x)=∣x³∣, ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm trị tuyệt đối:

$$\frac{d}{dx} |u| = \frac{u}{|u|} \cdot u’, \; \text{với } u \neq 0.$$

Ta có:

u(x)=x³.

$u'(x) = \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$

$$f'(x) = \frac{x^3}{|x^3|} \cdot 3x^2.$$

Khi $x>0$: x³>0, nên

$\frac{x^3}{|x^3|} = 1$

. Do đó: f′(x)=3x².

Khi $x<0$: x³<0, nên

$\frac{x^3}{|x^3|} = -1$

. Do đó: f′(x)=−3x³.

Khi $x=0$: ∣x³∣=0, nên đạo hàm không xác định tại x=0.

Kết quả:

$$f'(x) = \begin{cases} 3x^2, & \text{khi } x > 0 \\ -3x^2, & \text{khi } x < 0 \\ \text{Không xác định}, & \text{khi } x = 0 \end{cases}$$

V. Lời kết

Đạo hàm trị tuyệt đối là một công cụ toán học hữu ích, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững công thức đạo hàm của $|x|$ và ∣u∣ không chỉ giúp bạn giải quyết bài tập một cách dễ dàng mà còn mở rộng khả năng tư duy phân tích.

Tuy nhiên, để sử dụng thành thạo, bạn cần lưu ý đến những điểm đặc biệt như trường hợp đạo hàm không xác định. Thực hành với các ví dụ đa dạng sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn và áp dụng một cách linh hoạt.