Đạo hàm ln u, ln bình x, lnx chia x, … – Công thức và bài tập

Học công thức đạo hàm ln u, ln bình x, ln(x)/x,… và ứng dụng với các bài tập minh họa chi tiết. Xem ngay để hiểu rõ về đạo hàm logarit tự nhiên!

Trong toán học, đạo hàm của hàm logarit tự nhiên (ln) là một trong những kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Việc nắm vững các công thức đạo hàm như ln(u), [ln(x)]², (lnx)/x không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập một cách dễ dàng mà còn mở ra nhiều ứng dụng thực tiễn trong phân tích và tối ưu hóa.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách hệ thống các công thức đạo hàm liên quan đến ln, cùng với hướng dẫn chi tiết từng bước và bài tập thực hành. Đây là nguồn tài liệu hữu ích dành cho học sinh, sinh viên và cả những người yêu thích toán học đang muốn củng cố kiến thức về đạo hàm logarit.

I. Đạo hàm logarit tự nhiên (ln)

1. Khái niệm hàm số logarit

Logarit tự nhiên, ký hiệu là ln(x), là hàm số logarit cơ số e, trong đó elà hằng số Euler với giá trị xấp xỉ 2.718. Hàm logarit tự nhiên xuất hiện phổ biến trong toán học, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khoa học khác, đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các hiện tượng tăng trưởng hoặc suy giảm theo cấp số nhân.

Ví dụ: ln(e) = 1, bởi vì e¹ = e.

2. Công thức cơ bản của đạo hàm $\ln (x)$

Đạo hàm của hàm logarit tự nhiên được xác định bằng công thức sau:

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}, \quad \text{với điều kiện } x > 0.$$

Điều này có nghĩa là:

Giá trị của đạo hàm tại một điểm x là nghịch đảo của giá trị x tại điểm đó.

Hàm số chỉ được định nghĩa và khả vi khi x>0, vì logarit tự nhiên không tồn tại đối với số âm hoặc bằng không.

Ví dụ:

Với f(x) = ln(x), ta có f'(x) = 1/x,

tại x = 2, f'(2) = 1/2.

3. Ý nghĩa của đạo hàm l$n(x)$

Đạo hàm của hàm ln(x) mô tả tốc độ thay đổi của logarit tự nhiên theo biến x. Điều này đặc biệt hữu ích trong các bài toán tính toán tốc độ tăng trưởng, tối ưu hóa hoặc nghiên cứu chuỗi số liệu.

Ví dụ thực tế:

Trong kinh tế học, logarit tự nhiên thường được dùng để phân tích tỷ lệ tăng trưởng phần trăm (phần trăm thay đổi). Công thức đạo hàm cho phép xác định chính xác mức thay đổi tại một thời điểm cụ thể.

4. Biểu đồ minh họa đạo hàm l$n(x)$

Đồ thị của hàm số ln(x) có dạng đường cong tăng chậm dần về phía dương vô cùng.

Đường tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi điểm có độ dốc bằng 1/x, thể hiện độ lớn của đạo hàm.

II. Công thức đạo hàm nâng cao của ln

Sau khi nắm được công thức cơ bản, chúng ta sẽ mở rộng đến các trường hợp phức tạp hơn liên quan đến hàm logarit tự nhiên. Những công thức này được áp dụng khi hàm số bên trong logarit không chỉ đơn giản là x, mà là các biểu thức phức tạp hoặc chứa nhiều biến.

1. Đạo hàm của l$n(u)$

Khi u là một hàm số phụ thuộc vào x, công thức đạo hàm của ln$(u)$ được xác định bằng cách áp dụng quy tắc chuỗi:

$$\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u’}{u},$$

trong đó u’ = du/dx là đạo hàm của hàm số u.

Ví dụ minh họa:

Cho  y$=\ln (3x$²$+1)$, tìm y’:

$$y’ = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot (6x) = \frac{6x}{3x^2 + 1}.$$

2. Đạo hàm của [ln(x)]²

Nếu một hàm số logarit được bình phương, chẳng hạn [ln(x)]², chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:

$$\frac{d}{dx} [\ln(x)]^2 = 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x}.$$

Ví dụ minh họa:

Cho y=[ln(x)]², tìm y′:

$$y’ = 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln(x)}{x}.$$

3. Đạo hàm của ln(x)/x​

Khi cần tính đạo hàm của một hàm dạng phân số chứa l$n(x)$, chẳng hạn ln(x)/x​, chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm thương:

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right) = \frac{\frac{d}{dx} \ln(x) \cdot x – \ln(x) \cdot \frac{d}{dx} x}{x^2}.$$

Kết quả là:

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right) = \frac{1 – \ln(x)}{x^2}.$$

Ví dụ minh họa:

Cho y = ln(x)/x​, tìm y′:

$$y’ = \frac{1 – \ln(x)}{x^2}.$$

4. Đạo hàm của l$n|u|$

Trong trường hợp có thể nhận giá trị âm, công thức đạo hàm sẽ mở rộng như sau:

$$\frac{d}{dx} \ln|u| = \frac{u’}{u},$$

với điều kiện u ≠ 0

Ví dụ minh họa:

Cho y $=\ln |x$²$-4|$, tìm y′:

$$y’ = \frac{\frac{d}{dx}(x^2 – 4)}{x^2 – 4} = \frac{2x}{x^2 – 4}.$$

5. Các dạng bài tập điển hình về đạo hàm ln

• Tìm đạo hàm của hàm số có chứa ln.
• Ứng dụng trong bài toán cực trị (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất).
• Ứng dụng trong bài toán tích phân và phương trình logarit.

6. Một số lưu ý khi tính đạo hàm ln

• Điều kiện tồn tại của ln (x > 0).
• Xử lý đúng chuỗi đạo hàm trong trường hợp hàm hợp.
• Sai lầm thường gặp khi áp dụng công thức.

III. Bài tập thực hành về đạo hàm ln

Để củng cố kiến thức về đạo hàm logarit tự nhiên, dưới đây là một số bài tập phân loại theo từng mức độ.

1. Bài tập đạo hàm ln cơ bản

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

$y\; =\ln (x)$.

$y=\ln (3x+5).$

$y=\ln (x$²$+1)$

$y=[\ln (x)]$².

Đáp án tham khảo:

${\mathrm{y’\; =\; 1/x}}^{}$ $y’ = \frac{1}{3x + 5} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 5}$ $y’ = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$ $y’ = 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln(x)}{x}$

2. Bài tập đạo hàm ln trung bình

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

y = ln(x)/x​.

$y\; =\ln |2x-1|$.

$y=\ln (x$²$+3x+2)$.

Đáp án tham khảo:

$y’ = \frac{1 – \ln(x)}{x^2}$ $y’ = \frac{\frac{d}{dx}(2x – 1)}{2x – 1} = \frac{2}{2x – 1}$ $y’ = \frac{\frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 2)}{x^2 + 3x + 2} = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}$

3. Bài tập đạo hàm ln nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

y = ln(x)/x​, với x $>0$.

Tính

$\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x^2 + 1)}{x}\right)$

Giải phương trình đạo hàm:

$\frac{d}{dx} \ln(x^3 + 3x) = 0$

Đáp án tham khảo:

y = ln(x)​/x đạt giá trị lớn nhất tại $x=e$, giá trị cực đại là 1/e

$\frac{d}{dx} \left(\frac{\ln(x^2 + 1)}{x}\right) = \frac{\frac{2x}{x^2 + 1} \cdot x – \ln(x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x – \ln(x^2 + 1)}{x^2 + x^2}$

Phương trình đạo hàm:

$\frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x} = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0$

, loại vì không thỏa mãn x $>0$.

IV. Lời kết

Qua bài viết, bạn đã được tìm hiểu toàn diện về công thức đạo hàm logarit tự nhiên l$n(x)$, ln(u). Bao gồm các công thức cơ bản, nâng cao và ứng dụng thực tế. Đây là một chủ đề không chỉ quan trọng trong giải tích, mà còn ứng dụng trong các lĩnh vực như tối ưu hóa, tích phân, và phương trình logarit.

Để thành thạo, bạn cần nắm chắc điều kiện xác định của logarit, áp dụng đúng quy tắc chuỗi và tránh các lỗi phổ biến. Đồng thời, hãy dành thời gian luyện tập với các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Hy vọng bài viết này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích giúp bạn học tập hiệu quả hơn. Hãy tiếp tục khám phá các kiến thức mới trong toán học để làm chủ mọi bài toán phức tạp!